数学界の有名な未解決問題 一覧 一見簡単そうで解けない問題も

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ゴールドバッハ予想

「4以上の全ての偶数は二つの素数の和で表せる」という予想
『数の悪魔』とかにも載ってるぐらい有名な命題で、ステートメントだけならば小学生にも理解されやすいから知ってる人も多いと思う
見た目は簡単そうなのにいまだに全然証明されていないところが「フェルマーの最終定理」っぽい

双子素数の無限存在性

これもゴールドバッハ予想と同じく見た目は簡単そうなのになかなか解けない問題
双子素数っていうのは、3と5、5と7、11と13みたいに隣り合う奇数同士が素数になってるペアのことを言う
この双子素数のペアが無限にあるのか、それとも有限しかないのかはいまだに証明されてない
素数自体が無限にあることは証明されてるのに、不思議な話である

P≠NP予想

これは言わずと知れた超有名問題だから知ってる人も多いのでは?
PとかNPっていうのは、ある「問題」が属するクラス(集まり)のことで、
Pは、入力サイズの多項式時間で解ける
NPは、入力サイズの多項式時間で、解答の証拠を検証できる
そういう問題を表す。
ある問題がPに属するならばNPに属することは自明なんだけど、逆が成り立つかはいまだに分かっていない
多くの数学者は逆は成り立たない(すなわちP≠NP)だと予想してるけど、
もしこの予想が間違ってたら、現代の暗号の安全性とかにも大きな影響を与えかねない大変な事態になる
そういう意味で影響力の大きい問題である
だから、有名なミレニアム懸賞問題の一つにもなってる

リーマン予想


全ての未解決問題の中で恐らく一番有名だし、多くの数学者が挑戦したがってるロマン溢れる未解決問題

「リーマンゼータ関数」
Z(s)=1/1^s+1/2^s+1/3^s+……
の零点(つまりZ(s)=0となるようなs)のうち、非自明なもの(すなわち負の偶数でない零点)は全て実部が1/2の複素数である」
というのがこの予想のステートメント。
この予想は素数の分布を知るのにも役立つので、多くの数学者にとってチャレンジしがいのある問題である
でもいまだに解決されてなくて、ミレニアム懸賞問題の一つになってる難問である

ABC予想

数論の未解決問題で、何年か前に望月新一っていう数学者が「証明した」って主張し始めて話題になったから知ってる人も多いと思う
彼は宇宙際タイヒミュラー理論っていう全くの新しい理論を使って証明したと主張してるが、その新理論があまりにも難解すぎて、望月さん以外の数学者はその正しさをいまだに検証できてない
そのせいで、いまだに彼のこの論文は査読中のままで、本当にこの未解決問題が解決したのかどうかはいまだ分からずじまい

ちなみに、この予想のステートメントは、
「a+b=cを満たす互いに素な自然数a,b,cに対し、積abcの互いに異なる素因数の積をdとする。このとき、任意のε>0に対しc>d^(1+ε)を満たすようなa,b,cの組みは高々有限個しか存在しない」
というもの。ステートメント自体は高校生でも理解できるわりと簡単な内容

π+eが超越数か等

超越数っていうのは、「有理数係数の多項式の根に絶対にならない数」のことを指す
例えば、円周率πやネイピア数eは超越数であることがすでに証明されてる。
それにも関わらず、その2つを足したπ+eや積eπやπ/eなどはいまだに超越数であるのかどうかわかってない
見た目だけなら超越数に見えるのに、その証明ができないってのは何とも不思議である

ソファ問題

これは小学生でも理解できるちょっと面白い未解決問題
「L字型の通路を通り抜けられるソファの面積の最大値はいくつか?」という問題である
要は、色んな「ヘンテコな形」のソファーが考えられるんやで。
その中で最大の面積となるのはどんなのか?っていう問題。これもいまだに答えが分かってない

ルジャンドル予想

これも数論の未解決問題。数論は有名な未解決問題が多いから大変。
ステートメントは「任意の自然数nに対してn^2と(n+1)^2との間に必ず素数が存在する」という予想。
小学生でも理解できるステートメントなのに、いまだに証明はされていない。

なお、似たような命題として「任意の自然数nに対してnと2nの間に必ず素数が存在する」というステートメントもあるんやがこっちは証明済み
ベルトラン・チェビシェフの定理って呼ばれてる
実は、こっちの定理は高校数学までの内容で証明可能である

ナビエ・ストークス方程式の解の存在

これは実は数学だけでなく物理学にも関係する未解決問題。
ナビエ・ストークス方程式っていうのは、物理学において流体の動きを記述する運動方程式なんだけど、
この方程式に果たして解が存在するのかどうかはいまだに証明されていない
もちろん、現実には水とかの流体はちゃんと流れてるから、物理学的には解があると当然のように思われてるけど、
数学的にこの方程式の解の存在を証明することはまだできてない
もちろん、解の存在の証明ができてないってことは、解を求めることもできていないってことだから、
物理学の世界ではいまだに流体の厳密な動きを記述することはできていない
だから、流体についてはいわゆる「数値計算」というアプローチを使って、コンピューターで近似的に動きをシミュレートせざるを得ない

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